Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
A. Lý thuyết 

1. Định nghĩa 

a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.

b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn  nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp 

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều.

Đa giác đều $n$ cạnh có độ dài mỗi cạnh là $a,R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:

                     $R$ = $\frac{\mathrm{a/(}}{2sin\frac{{180}^{\circ /}}{\mathrm{n)}}}$; $r$ = $\frac{\mathrm{a/(}}{2tg\frac{{180}^{\circ /}}{\mathrm{n)}}}$.

B. Bài tập

Bài 61 (trang 91 SGK Toán 9 tập 2): a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Lời giải

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm: (O; 2cm)

Vẽ bằng êke và thước thẳng.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ OH ⊥ AD.

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

r = OH = AH

r² + r² = OA² = 2² => 2r² = 4 => r² = 2 => r = √2(cm)

Vẽ đường tròn (O; √2cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trong điểm của mỗi cạnh.

Bài 62 (trang 91 SGK Toán 9 tập 2): a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.

b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).

Lời giải

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm(dùng thước có chia khoảng và compa).

b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực(đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều ABC).

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ΔIJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).

Bài 63 (trang 92 SGK Toán 9 tập 2): Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

Lời giải

Bài 64 (trang 92 SGK Toán 9 tập 2): Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Lời giải