Bài 7+8. Vị trí tương đối của hai đường tròn
1.Vị trí tương đối của hai đường tròn :
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ta có :
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì : |R – R’| < OO’ < R + R’.
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì :
- hai đường tròn tiếp xúc trong : OO’ = |R – R’|
- hai đường tròn tiếp xúc ngoài : OO’ = R + R’
Nếu hai đường tròn không giao nhau thì :
- hai đường tròn ngoài nhau : OO’ > R + R’
- hai đường tròn đựng nhau : OO’ < |R – R’|
- hai đường tròn đồng tâm : OO’ = 0.
2. Định lí :
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
Tiếp tuyến chung :
Tiếp tuyến chung là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Đường tròn nội tiếp tam giác :
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác ngoại tiếp đường tròn.
Đường tròn bàng tiếp tam giác :
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
3. Tính chất của đường nối tâm.
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
Từ đó suy ra:
– Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (h.a).
– Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung thực của dây cung (h.b).
.
B. Bài tập
Bài 33 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 1): Trên hình 89, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng OC // O’D.
Hình 89
Lời giải:
Ta có: OA = OC (bán kính) nên ΔOAC cân tại O.
Lại có O’A = O’D (bán kính) nên ΔO’AD cân tại O’
Vậy OC // O’D (có hai góc so le trong bằng nhau).
Bài 34 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’, biết rằng AB = 24 cm. (Xét hai trường hợp: O và O’ nằm khác phía đối với AB; O và O’ nằm cùng phía đối với AB).
Lời giải:
– Trường hợp 1: O và O’ nằm khác phía đối với AB
Gọi I là giao điểm của OO’ và AB. Theo tính chất đường nối tâm ta có:
AB ⊥ OO’ và AI = IB = 12
Áp dụng định lí Pitago, ta được:
Vậy OO’ = OI + IO’ = 16 + 9 = 25 (cm)
– Trường hợp 2: O và O’ nằm cùng phía đối với AB
Tương tự như trường hợp 1, ta có:
Vậy OO’ = OI – O’I = 16 – 9 = 7 (cm).
Bài 35 (trang 122 SGK Toán 9 Tập 1): Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có OO’ = d, R < r.
| Vị trí tương đối của hai đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d, R, r |
|---|---|---|
| (O; R) đựng (O’; r) | ||
| d > R + r | ||
| Tiếp xúc ngoài | ||
| d = R – r | ||
| 2 |
Lời giải:
Ta có bảng sau:
| Vị trí tương đối của hai đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d, R, r |
|---|---|---|
| (O; R) đựng (O’; r) | 0 | d < R + r |
| Ở ngoài nhau | 0 | d > R + r |
| Tiếp xúc ngoài | 1 | d = R + r |
| Tiếp xúc trong | 1 | d = R – r |
| Cắt nhau | 2 | R – r < d < R + r |
Bài 36 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của đường tròn bán kính OA, O’ là tâm của đường tròn đường kính OA. Ta có:
OO’ = OA = O’A
Vậy (O’) tiếp xúc trong với (O).
b) Cách 1:
O’A = O’C (bán kính) nên ΔO’AC cân tại O’
OA = OD (bán kính) nên ΔOAD cân tại D
Hai tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh nên
Suy ra O’C // OD (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong).
ΔOAD có AO’ = O’O và O’C // OD nên AC = CD (đpcm).
– Cách 2:
ΔAOD cân tại O có OC là đường cao nên là đường trung tuyến
Suy ra AC = CD (đpcm)
Bài 37 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dãy AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC = BD.
Lời giải:
Giả sử vị trí các điểm theo thứ tự là A, C, B, D.
Kẻ OH ⊥ CD. Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta có:
HA = HB, HC = HD
Nên AC = HA – HC = HB – HD = BD
Vậy AC = BD.
(Trường hợp vị trí các điểm theo thứ tự là A, D, C, B chứng minh tương tự.)