Lý thuyết và bài tập về đường Elip – Toán lớp 10

A. Lý thuyết  về đường Elip – Toán lớp 10

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F₁ và F₂

Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng F₁M +F₂M = 2a không đổi

Các điểm F₁ và F₂  gọi là tiêu điểm của elip

Khoảng cách F₁ .F₂ = 2c gọi là tiêu cự của elip

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm F₁ và F₂  chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(-c ; 0) và F₂(c ; 0). Khi đó người ta chứng minh được

M(x ; y) ε elip <=>

 trong đó:   b² = a² – c²

Các thông tin của elip (E)

– Hai tiêu điểm: F₁(-c;0),F₂(c;0).

– Bốn đỉnh A₁(-a;0),A₂(a;0),B₁(0;-b),B₂(0;b)

– Độ dài trục lớn: A₁A₂=2a, độ dài trục nhỏ B₁B₂=2b

– Tiêu cự: F₁F₂=2c

– Elip (E) có tâm đối xức là gốc tọa độ, có hai trục đối xức là các trụ tọa độ.

– Bốn đường thẳng x=±a,y=±b tạo thành một hình chữ nhật, gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip (E). Hình chữ nhật có chiều dài là 2a và chiều rộng là 2b.

3. Hình dạng của elip

Xét elip (E) có phương trình (1):

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm  M₁(-x ; y) M₂(x ;- y)  và M₃(-x ; -y) cũng thuộc (E).

Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.

b) Thay y = 0  vào (1) ta có x = ±a suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A₁(-a ; 0) A₂(a ;0).

Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y =  ±b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm  B₁(0 ; -b) B₂(0 ;b).

Các điểm  A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng  A₁A₂ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁, B₂  gọi là trục nhỏ của elip

[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10: Phương trình đường Elip (phần 1)

Câu 1: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

Câu 2: Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F₂(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:

Câu 3: Cho elip có phương trình 4x²+9y²=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6     B. 12     C. 24     D. 36

Câu 4: Cho elip (E) có phương trình

Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?

A. y = 2x     B. y = 3     C. x = 3     D. y = 10

Câu 5: Cho elip (E) có phương trình

với hai tiêu điểm là F₁,F₂. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF₁F₁ là:

A. 50     B. 36

C. 34     D. Thay đổi phụ thuộc vào vị trí M

Câu 6: Cho elip (E) có phương trình

và (H) là hình vuông có các cạnh đều tiếp xúc với (E). Khi đó diện tích của (H) là:

A. 194     B. 260     C. 388     D. 288

Hướng dẫn giải và Đáp án

1-D

2-C

3-C

4-B

5-A

6-C

Câu 1:

Theo bài ra ta có độ dài trục lớn 2a = 8 => a = 4, độ dài trục nhỏ 2b = 6 => b = 3 nên phương trình chính tắc của elip là

Đáp án là D.

Câu 2:

Phương trình chính tắc của (E) và:

Elip có một tiêu điểm F₂(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) nên ta có

Đáp án là C.

Câu 3:

Elip có phương trình:

Hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 6 và chiều rộng là 4 nên diện tích là 24.

Đáp án là C.

Câu 4:

Để đường thẳng cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy thì đường thẳng đó cần song song với trục Ox. Phương án D không thỏa mãn vì không cắt (E).

Đáp án là B.

Câu 5:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có các thông tin về các bán trục và bán tiêu cự a = 13, b = 5, c = 12. Theo định nghĩa của elip ta có MF₁+MF₂=2a=26,F₁F₂=2c=24. Chu vi tam giác MF₁F₂ là 50

Đáp án là A.

Câu 6:

Ta có nhận xét sau: đường thẳng d: ax + by + c = 0 tiếp xúc với (E) khi hệ phương trình

<=> đường thẳng Δ: 13ax + 5by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x²+y²=1

<=>169a²+25b²=c² (*). Ta gọi hệ thức (*) là điều kiện tiếp xúc của d và (E).

Gọi bốn cạnh của hình vuông là

d₁:ax+by+c₁=0 ,d₂:ax+by+c₂=0 ,

d₃:ax+by+c₃=0,d₄:ax+by+c₄=0 .

Dùng điều kiện tiếp xúc trên ta có

Do (H) là hình vuông nên d(d₁,d₂)=d(d₃,d₄) => |c₁|=|c₃| => a² = b²

Ta có c₁²= c₂²= c₃² = c₄² = 194a² = 194b².

Diện tích hình vuông (H) là

Đáp án là C.

Chú ý. Trong trường hợp tổng quát ta cũng có điều kiện tiếp xúc của đường thẳng a: mx + ny + p = 0 và elip (E):

Bài 1 trang 88 sgk hình học 10

1. Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

b) 4x² + 9y² = 1

c) 4x² + 9y² = 36

Hướng dẫn:

a) Ta có: a² = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10 

                              b² = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6 

                              c² = a² – b² = 25 – 9 = 16  => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-4 ; 0) và F₂(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh    A₁(-5; 0), A₂(5; 0),  B₁(0; -3),  B₂(0; 3).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

Từ đây suy ra: 2a = 6.     2b = 4,    c = √5

=>  F₁(-√5 ; 0) và F₂(√5 ; 0)

 A₁(-3; 0), A₂(3; 0),  B₁(0; -2),  B₂(0; 2).

Bài 2 trang 88 sgk hình học 10

2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 8 và 6

b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Hướng dẫn:

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

a) Ta có a > b : 

2a = 8  => a = 4 =>  a² = 16

2b = 6  => b = 3 =>  b² = 9

b) Ta có: 2a = 10  => a = 5 =>  a² = 25

              2c = 6  => c = 3 =>  c² = 9

       =>   b² = a² – c²       =>   b² = 25 – 9 = 16

Bài 3:

Bài 4 trang 88 sgk hình học 10

4. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

 Hướng dẫn:

 Ta có: 2a  = 80 => a = 40

           2b = 40 => b = 20

 

 c² = a² – b² = 1200   => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm  F₁ , F₂   và cách mép ván:

F₂A  = OA – OF₂ = 40 – 20√3

=> F₂A = 20(2 – √3)   ≈  5,4cm

Chu vi vòng dây bằng:   F₁.F₂+ 2a  =   40√3 + 80

                             =>  F₁.F₂ + 2a  =   40(2 + √3)

                                   F₁.F₂ + 2a  ≈ 149,3cm

Bài 5 trang 88 sgk hình học 10

Cho hai đường tròn C₁(F₁; R₁)  và C₂(F₂; R₂). C₁ nằm trong C₂ và F₁ ≠  F₂ . Đường tròn (C)   thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C₁ và tiếp xúc trong với  C₂.Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.

Hướng dẫn:

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C₁ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₁ = R₁+ R  (1)

(C) và C₂ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₂ = R₂ – R  (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được 

MF₁  +   MF₂ = R₁+ R₂= R không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách MF₁  +   MF₂ đến hai điểm cố định F₁ và F₂   bằng một độ dài không đổi R₁+ R₂

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F₁ và F₂   và có tiêu cự

F_{1 .}F₂ = R₁+ R₂