BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
PHỤ HUYNH VÀ HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM:
Tất cả kiến thức về bất phương trình
Bất phương trình chứa căn thức
I. Lý thuyết:
- Định nghĩa: Xét tam thức bậc 2 có dạng:
. Bất phương trình bậc 2 sẽ có dạng:
+) f(x) > 0
+) f(x) < 0
+) f(x) ≥ 0
+) f(x) ≤ 0
- Các bước để giải bất phương trình bậc 2:
+) Bước 1: Xét dấu hệ số a của tam thức bậc 1 đã cho.
+) Bước 2: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc 2 đã cho.
+) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận nghiệm.
II. Phương pháp giải bất phương trình bậc 2:
- Cách xét dấu của tam thức bậc 2:
* Xét 
+) Nếu 
thì thì f(x) vô nghiệm. Như vậy, ta có bảng xét dấu:
|
x |
−∞ +∞ |
|
f(x) |
Cùng dấu với hệ số a |
+) Nếu 
thì f(x) có nghiệm kép x’. Như vậy, ta có bảng xét dấu:
|
x |
−∞ x’ +∞ |
|
f(x) |
Cùng dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a |
+) Nếu 
thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2. Như vậy, ta có bảng xét dấu với x1<x2
|
x |
−∞ x1 x2 +∞ |
|
f(x) |
Cùng dấu với hệ số a 0 Trái dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a |
-) Lưu ý: Từ bảng trên, ta có thể thấy trong khoảng 2 nghiệm thì f(x) trái dấu với hệ số a; ngoài khoảng 2 nghiệm thì f(x) cùng dấu với a. Từ đó, ta suy ra một quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”.
III. VD: Cho bất phương trình: f(x) = 
> 0
- Bước 1: Lập bảng xét dấu cho tam thức bậc 2:
+) Xét a = (-3) < 0
+) Xét 
+) Vậy phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1 và 2/3
+) Ta có bảng xét dấu:
|
x |
−∞ 2/3 1 +∞ |
|
f(x) |
− 0 + 0 − |
- Bước 2: Kết luận nghiệm dựa theo bảng xét dấu:
+) Vậy ⇔ 2/3< x < 1
+) Ngoài ra, ta có thể thấy:
-) f(x) ≥ 0 ⇔ 2/3 ≤ x ≤ 1
-) f(x) < 0 ⇔ x < 2/3 hoặc x > 1
-) f(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2/3 hoặc x ≥ 1
IV. Các dạng bất phương trình bậc 2 đặc biệt:
1.Bất phương trình có ẩn ở mẫu:
- Ta có :
(1) - Nếu:
+) (1) > 0 thì ta sẽ có 2 trường hợp:
-) TH1: Cả tử cả mẫu đều > 0
-) TH2: Cả tử cả mẫu đều < 0
+) (2) < 0 thì ta sẽ có 2 trường hợp:
-) TH1: Tử > 0 và Mẫu < 0
-) TH2: Tử < 0 và Mẫu > 0
+) Tương tự với (1) ≥ 0 và (1) ≤ 0.
- Sau đó thì ta sẽ xét riêng dấu của tử và mẫu như bình thường qua phương pháp lập bảng xét dấu.
2. Bất phương trình tích:
- Ta có:
- Nếu:
+) f(x) > 0 thì:
-) TH1: Cả 2 phương trình đều > 0
-) TH2: Cả 2 phương trình đều < 0
+) f(x) < 0 thì:
-) TH1: Phương trình 1 > 0 và Phương trình 2 < 0
-) TH2: Phương trình 1 < 0 và Phương trình 2 > 0
+) Tương tự với 2 trường hợp f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.