Lý thuyết bất phương trình mũ và logarit

1. Khái quát về bất phương trình mũ và logarit

Các bất phương trình mũ và bất phương trình logarit rất phong phú về dạng và phương pháp giải. Một cách tổng quát, bất phương trình mũ và logarit là các bất phương trình có chứa biểu thức mũ với ẩn ở số mũ. Cách giải bất phương trình mũ và logarit cũng tương tự như cách giải phương trình mũ và logarit cơ bản (phương pháp đặt ẩn phụ).

Toán cấp 3 nhấn mạnh: Các em học sinh cần phải thành thạo cách giải phương trình mũ và logarit vì làm tốt điều này các em cũng sẽ dễ dàng giải các bất phương trình mũ và logarit.

2. Lý thuyết bất phương trình mũ cơ bản

ax>b ( hoặc ax<b; ax≥b; ax≤b), trong đó a,b là hai số đã cho, a > 0, a # 1.

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách logarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit. logarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

– Nếu b > 0 và a > 1 thì

ax>b ⇔ logaax>logab ⇔ x>logab; ax≥b ⇔ x≥logab

ax<b ⇔ logaax<logab ⇔ x<logab; ax≤b ⇔ x≤logab

– Nếu b>0 và 0<a

ax>b ⇔ logaaxx<logab ⇔ x>logab; ax≥b ⇔ x≤logab

ax<b ⇔ x>logab; ax≤b ⇔ x≥logab

– Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax>b, ax≥b đều đúng với mọi x (tập nghiệm là R)
– Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax<b, ax≤b đều vô nghiệm

3. Lý thuyết bất phương trình logarit cơ bản

logax>b (hoặc logax<b; logax≥b; logax≤b)

trong đó a, b là hai số đã cho, a>0, a # 1

Ta giải bất phương trình logarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

– Nếu a > 1 thì

logax>b ⇔ alogax>ab ⇔ x>ab ; alogax>ab ⇔ x≥ab

logax<b ⇔ 0 < x < ab ; logax≤b ⇔ 0 < x ≤ ab

– Nếu 0 < a< 1 thì

logax>b ⇔ alogax<ab ⇔ 0<x<ab ; logax≥b ⇔ 0<x≤ab

logax<b ⇔ x>ab ; logax≤b ⇔ x≥ab

4. Chú ý trong khi giải bất phương trình mũ và logarit

Đối với các bất phương trình mũ và logarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b=aα (đối với bất phương trình mũ cơ bản) và b=logaα ( trường hợp bất phương trình logarit cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit để giải, không cần logarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:
Nếu a > 1 thì ax>aα ⇔ x > α;

Nếu 0 < a < 1 thì logax>logaα ⇔ 0 < x < α;…